t 分布（Student’s t-distribution，学生 t 分布）

• 爱尔兰都柏林的健力士啤酒厂（Guinness Brewery）。酒厂规定员工不允许公开发表研究论文，担心商业机密外泄；
• 1900 前后，当时做质量检验、原料检测时，样本量很小（n 很小）。使用经典正态 Z 检验的前提：总体标准差 σ 已知。在健力士啤酒厂工作的William Sealy Gosset发现，用样本标准差$s$代替总体$\sigma$后，统计量不再服从标准正态分布；尾部更厚，如果继续用正态临界值，会高估显著性；

1908：Gosset用笔名 Student 发表论文《The Probable Error of a Mean》

• 他通过大量蒙特卡洛模拟（手工抽样，没有计算机！），得到这个新分布；
• 推导出小样本下统计量 $t=\frac{\bar x-\mu}{s/\sqrt{n}}$的抽样分布；
• 给出早期 t 临界值表。

这篇文章给出的分布，后世称为 Student t 分布。 ⚠️注意：戈塞特没有严格数学证明，是通过实验模拟发现分布形态。

1912：R. A. Fisher 看到 Student 的论文，给出了 t 分布的完整理论推导，建立了 t 分布的概率密度函数，并且定义了自由度（degrees of freedom）这个核心概念。

• 戈塞特本人并没有使用 “t” 这个符号；t 这个符号是 Fisher 命名的
• Fisher 把 t 分布整合进假设检验框架；
• 拓展到两组均值比较、方差分析体系；

所以历史描述：Gosset 发现 t 分布，Fisher 完成理论证明并推广应用。 Gosset 和 Fisher 长期书信交流，两人是重要学术伙伴。

1925：Fisher《Statistical Methods for Research Workers》，收录 t 检验、t 表。

• t 分布从小样本实验的小众工具，变成农学、生物、工业实验的标准方法。
• t 表不断扩充，不同自由度的临界值陆续补齐。

1938：Welch t 检验

1. Welch 修正双样本 t 检验，取消方差齐性假设，得到近似自由度，就是 Minitab 里的 “不假定等方差” t 检验，解决两组方差不等时的均值比较；
2. 拓展到回归：用 t 分布做回归系数显著性检验；
3. 稳健 t、非对称 t 分布等衍生版本；
4. 计算机时代：软件直接计算 t 分布 P 值，不再依赖查表。

• $\bar x$：样本均值；$\mu_0$：目标总体均值
• $s$：样本标准差；$n$样本量；自由度$df=n-1$

1. 单样本 t 检验：样本均值和目标总体均值比较，σ 未知；
2. 独立双样本 t 检验：两组均值比较（分方差齐 / 方差不齐两种）；
   • 方差齐：合并方差，\(df=n_1+n_2-2\)
   • 方差不齐：Welch t 检验，近似自由度；
3. 配对 t 检验：配对前后差值，对差值做单样本 t；
4. 回归系数显著性检验：回归里检验系数是否不等于 0；
5. 总体均值的置信区间，σ 未知时，用 t 分位数代替 Z。